重点难点介绍

这篇论文的核心内容是对移动最小二乘法（Moving Least Squares, MLS）及其改进方法的系统性综述。以下是论文的重点和难点部分的介绍：

论文重点

1. MLS 方法的背景和应用
   • MLS 是一种强大的数学工具，广泛应用于数据插值、图像处理、几何形状构建以及无网格数值方法（如有限元方法的改进）。
   • 其优势在于能够处理复杂算术方程，具有灵活性和插值特性，尤其适用于处理大变形问题（如断裂力学、流固耦合等）。
2. MLS 的局限性
   • 传统 MLS 方法在处理变量不连续性（如高佩克莱数扩散-对流问题、锐角图像处理）时存在困难，容易出现误差或失效。
3. MLS 的改进策略
   • 权重函数的改进：通过修改权重函数（如非对称权重、双重加权权重）来增强 MLS 的稳健性。
   • 离散范数的改进：通过引入额外的约束条件（如梯度约束、正则化项）来优化 MLS 的计算精度。
   • 迭代算法：采用迭代方法逐步减小残差，提高拟合精度。
   • 复合 MLS 方法：结合多种改进策略（如权重函数、离散范数和迭代算法）以应对复杂问题。
4. 复合 MLS 方法的优势
   • 复合 MLS 方法通过整合多种改进策略，能够更有效地处理复杂节点分布和不连续性问题。
   • 例如，Gois 等人提出的权重函数和约束条件组合，能够有效插值高度非线性的流体界面。
5. 未来改进方向
   • 提出多变量幂最小二乘法（MPLSM）和再生核函数（RKF）等新方法，以优化近似函数的指数并提高计算精度。
   • 强调在选择 MLS 变体时需要在精度和计算效率之间进行权衡。

论文难点

1. 数学公式的复杂性
   • 论文中涉及大量的数学公式和推导，尤其是改进策略中的权重函数、离散范数和迭代算法。这些公式对于非数学专业背景的读者来说可能难以理解。
2. 改进策略的多样性
   • 论文总结了多种 MLS 的改进策略，每种策略都有其特定的数学背景和应用场景。理解这些策略之间的差异以及它们如何协同工作是一个难点。
3. 复合 MLS 方法的实现
   • 复合 MLS 方法虽然在理论上具有优势，但其实际实现需要综合考虑多种改进策略。这不仅增加了计算复杂性，还可能导致实际应用中的困难。
4. 权重函数和离散范数的优化
   • 权重函数和离散范数的选择对 MLS 的性能有显著影响。论文中提到了多种权重函数和离散范数的变体，但如何根据具体问题选择最优的函数形式是一个挑战。
5. 应用领域的广泛性
   • MLS 方法被广泛应用于多个领域（如图像处理、数值分析、工程结构优化等），每个领域都有其特定的需求和限制。论文虽然提供了广泛的综述，但对于特定领域的读者来说，可能需要进一步研究如何将这些改进策略应用于实际问题。

总结

这篇论文的重点在于系统性地总结和分析 MLS 方法及其改进策略，强调了其在处理复杂问题时的优势和局限性。难点则在于理解多种改进策略的数学原理和实际应用中的复杂性。对于从事相关领域研究的学者来说，这篇综述提供了宝贵的参考，帮助他们更好地选择和应用 MLS 方法。

详细介绍

这篇论文《Moving Least Squares Method and its Improvement: A Concise Review》由 Wah Yen Tey 等人撰写，发表于《Journal of Applied and Computational Mechanics》2021年第7卷第2期。论文系统性地回顾了移动最小二乘法（Moving Least Squares, MLS）及其各类改进方法，并对这些方法的原理、应用和优缺点进行了详细的分析和总结。以下是对这篇论文的详细介绍：

1. 研究背景与意义

1.1 移动最小二乘法（MLS）简介

移动最小二乘法（MLS）是一种强大的数学工具，最初由 Shepard [1] 和 Lancaster & Salkauskas [2] 提出，用于从一组散乱数据生成曲面。其核心思想是通过局部多项式拟合来近似数据点，具有以下优势：

• 灵活性：能够处理复杂的算术方程。
• 插值特性：可以作为有限元方法（FEM）的替代方案，广泛应用于无网格方法（如扩散元方法、无单元伽辽金方法等）。
• 适应性：适用于大变形问题（如断裂力学、流固耦合等）。

1.2 MLS 的应用领域

MLS 方法在多个领域得到了广泛应用，包括：

• 数据近似：用于拟合和插值散乱数据。
• 图像处理：如图像放大、颜色转换等。
• 几何建模：用于生成复杂几何形状。
• 数值分析：作为无网格方法的核心工具，解决偏微分方程。

1.3 MLS 的局限性

尽管 MLS 具有诸多优势，但其在处理某些问题时仍存在局限性：

• 不连续性问题：在处理高梯度或不连续的变量时，MLS 可能失效。
• 计算复杂性：在多变量问题中，MLS 的计算成本较高。
• 权重函数的选择：权重函数的设计对结果影响较大，但选择合适的权重函数并非易事。

2. 论文的主要内容

2.1 经典 MLS 方法的回顾

论文首先回顾了经典 MLS 方法的基本原理和数学公式。核心思想是通过最小化局部残差来求解多项式系数，从而获得近似函数。具体步骤包括：

• 近似函数的构建：通过多项式基函数和未知系数构建近似函数。
• 离散范数的定义：通过权重函数和残差定义离散范数。
• 系数求解：通过最小化离散范数求解未知系数。

2.2 MLS 方法的改进策略

论文详细讨论了 MLS 方法的多种改进策略，这些策略可以分为以下几类：

2.2.1 权重函数的改进

权重函数在 MLS 中起着关键作用，其设计直接影响拟合结果的精度和稳定性。论文总结了几种常见的权重函数改进方法：

• 对称权重函数：如三次样条函数、四次样条函数和指数函数。
• 非对称权重函数：用于处理变量梯度突变的问题。
• 双重加权权重函数：通过引入额外的权重因子，增强对异常值的鲁棒性。

2.2.2 离散范数的改进

离散范数的定义和优化是 MLS 改进的重要方向之一。论文讨论了以下几种改进方法：

• 引入额外约束：如梯度约束、正则化项等，以提高拟合精度。
• 迭代最小二乘法：通过迭代过程逐步减小残差。
• Hermite 型 MLS：引入场的梯度作为约束，适用于 Neumann 边界条件问题。

2.2.3 复合 MLS 方法

复合 MLS 方法通过结合多种改进策略，进一步提高了 MLS 的适用性和精度。论文举例说明了复合 MLS 在处理复杂问题（如流体界面、锐角几何形状）时的优势。

2.2.4 新兴改进方法

论文还介绍了几种新兴的 MLS 改进方法：

• 多变量幂最小二乘法（MPLSM）：通过优化近似函数的指数，减少计算复杂性。
• 再生核函数（RKF）：通过积分形成连续的多项式方程，提高拟合精度。

2.3 MLS 方法的固有限制及其改进方向

论文指出，MLS 方法的固有限制在于其预定义的多项式近似函数，这在处理不连续性问题时可能导致失效。为了克服这一限制，论文提出了以下改进方向：

• 优化近似函数的指数：通过 MPLSM 等方法，减少近似函数的数量，同时保持精度。
• 结合其他数学工具：如 RKF、偏最小二乘法等，以增强 MLS 的适用性。

3. 论文的结论与展望

3.1 主要结论

论文总结了 MLS 方法及其改进策略的现状，指出：

• 复合 MLS 方法：通过结合多种改进策略，能够有效处理复杂问题，但计算复杂性较高。
• 新兴改进方法：如 MPLSM 和 RKF，为 MLS 的进一步发展提供了新的思路。

3.2 未来研究方向

论文提出了未来 MLS 方法改进的几个方向：

• 算法的简洁性与效率：在精度和计算效率之间找到平衡。
• 跨领域应用：将 MLS 方法应用于更多领域，如太阳能功率预测、海洋能预测等。
• 与其他方法的结合：探索 MLS 与其他数学工具（如偏最小二乘法、主成分回归等）的结合，以解决更复杂的问题。

4. 论文的贡献与价值

4.1 系统性综述

论文对 MLS 方法及其改进策略进行了系统性综述，为研究人员提供了一个全面的参考框架。

4.2 方法改进的总结

论文详细总结了 MLS 方法的多种改进策略，包括权重函数、离散范数和迭代算法的优化，为实际应用提供了指导。

4.3 未来研究方向的展望

论文不仅回顾了现有的研究成果，还提出了未来 MLS 方法改进的方向，为后续研究提供了思路。

5. 论文的难点与挑战

5.1 数学公式的复杂性

论文涉及大量的数学公式和推导，尤其是改进策略中的权重函数和离散范数。这些内容对于非数学专业背景的读者来说可能较难理解。

5.2 复合 MLS 方法的实现

复合 MLS 方法虽然在理论上具有优势，但其实际实现需要综合考虑多种改进策略。这不仅增加了计算复杂性，还可能导致实际应用中的困难。

5.3 权重函数和离散范数的选择

权重函数和离散范数的选择对 MLS 的性能有显著影响。论文中提到了多种权重函数和离散范数的变体，但如何根据具体问题选择最优的函数形式是一个挑战。

6. 总结

这篇论文系统性地回顾了移动最小二乘法（MLS）及其改进方法，详细分析了其在不同领域的应用、优势和局限性。论文不仅总结了现有的研究成果，还提出了未来改进的方向，为从事相关领域研究的学者提供了宝贵的参考。

原文翻译

《移动最小二乘法及其改进：简要综述》

摘要：本文系统总结了移动最小二乘法（Moving Least Squares, MLS）的最新变体。MLS 是一种数学工具，广泛应用于数据插值、形状构建和无网格方案的制定，尤其是因为它能够灵活形成复杂的算术方程。然而，传统的 MLS 方法在处理场变量的不连续性时存在困难。本文讨论了克服这一缺陷的各种策略。尽管自 MLS 方法引入数值/统计分析以来，已经提出了许多 MLS 变体，但尚未有技术性综述来总结这些方法的发展。本综述根据改进 MLS 方法的主要策略进行结构化：权重函数的修改、离散范数的操作、迭代特征的引入以最小化残差，以及这些策略的整合以实现更稳健的计算。本文还根据其改进原理对广泛的先进 MLS 变体进行了汇编、总结和重新评估。此外，本文也讨论了 MLS 方法的固有限制及其可能的改进策略。本综述可为实施和开发先进的 MLS 方案提供有价值的参考，尤其是在特定科学问题复杂性出现时。

关键词：移动最小二乘法，插值与优化技术，形状构建，无网格技术

1. 引言

移动最小二乘法（MLS）是由 Shepard [1] 和 Lancaster 和 Salkauskas [2] 提出的一种数学工具，用于从一组散乱数据生成曲面。自引入以来，MLS 已广泛应用于数据近似 [3–5]、图像处理 [6–8] 和几何形状形成 [9–12]。其在科学应用中的稳健性主要归因于：(i) 使用平滑的权重函数以确保变量场的连续性；(ii) 数学灵活性以制定复杂的算术方程（尽管多项式函数更为流行）；(iii) 其插值特性可以作为许多其他数值工具的优秀替代。此外，MLS 是有限元方法（Finite Element Method, FEM）中应用最广泛的方法之一，作为猜测函数，从而发展为扩散元方法（Diffuse Element Method, DEM）[13]。DEM 可以进一步改进为形成无单元伽辽金方法（Element-Free Galerkin, EFG）[14,15] 和无网格局部 Petrov-Galerkin 方法（Meshless Local Petrov-Galerkin, MLPG）[16,17]，这些方法是解决涉及大变形的偏微分方程的强大数值技术，例如断裂力学、树枝状凝固和流固耦合问题。MLS 与其他无网格技术的整合也得到了广泛报道，例如在再生核粒子方法 [18,19]、平滑粒子流体动力学 [20–22]、浸入边界方法 [23,24]、MLS 辅助有限元方法 [25] 和局部最大熵近似方案 [26,27] 中的应用。

然而，在某些极端物理问题中，当变量不连续性出现时，MLS 可能会遇到其局限性，例如高佩克莱数扩散-对流问题 [28] 和锐角图像处理 [29,30]。许多研究已经报道了改进 MLS 的技术，但尚未对这些改进进行技术性整理和总结。因此，本文的目的是提供一个关于改进 MLS 以实现强大科学计算的最新技术的简要综述。

2. 经典移动最小二乘法

设 $\Omega$ 为范数向量空间，$u$ 为 $\Omega$ 中的标量场变量。为了形成一个近似函数 $u^a$ 以关联 $\Omega$ 和 $u$，可以使用一系列多项式函数 $P$ 及其对应的未知系数 $\alpha$，如公式（1）所示：

\[u^a = \sum_{j=1}^{m} P_j(\Omega)\alpha_j = P^T\mathbf{\alpha} \tag{1}\]

局部近似的离散范数 $J$ 可以表示为：

\[J = \sum_{i=1}^{n} W_i R^2 = \sum_{i=1}^{n} W_i \left[\left(\sum_{j=1}^m\left(P_j\left(\Omega\right)\alpha_j\right)\right)_i-u_i\right]^2 \tag{2}\]

其中，$W$ 是权重函数，将在下一节中进一步描述；$R$ 是残差，即近似值与实际值之间的差异。符号 $m$ 和 $n$ 分别表示猜测函数的数量和场变量的数量。通过最小化公式（2），可以形成一个矩阵（见公式（3）），从而求解未知系数：

\[\frac{\partial J}{\partial \alpha} = 0 \rightarrow A \alpha = B \rightarrow \alpha=A^{-1}B \tag{3}\]

其中，$A = \sum_{i=1}^{n} W_i\left(\Omega\right) P^T\left(\Omega\right) P\left(\Omega\right)$，$B = P^TWu$。

矩阵 $A$ 和 $B$ 的大小分别为 $m \times m$ 和 $1 \times m$。求得 $\alpha$ 后，可以形成近似方程。详细的显式公式可以在 Breitkopf 等人 [31]、Liu 和 Gu [32]、Wang [33] 和 Zhang 等人 [34] 的工作中找到。

3. 权重函数的操作

权重函数 $W$ 可以表示为采样点 $x\prime$ 和插值点 $x$ 在 $\Omega$ 内的欧几里得距离的函数，它在控制 MLS 的数学稳健性方面起着关键作用 [35,36]。欧几里得距离 $r$ 通常通过径向基函数形成 [30,31,37,38]：

\[r = \frac{\|x\prime - x\|}{h_\Omega} \tag{4}\]

其中，$h_\Omega$ 是 $\Omega$ 的大小。然而，对于由节点分布不均匀构成的问题域，Levin [39] 建议通过公式（5）对公式（4）进行平滑处理，而 Fasshauer [40] 补充了 Levin 的工作，提出了不同近似阶的平滑公式。

\[r = \exp\left(\frac{\|x\prime-x\}^2}{h_{\Omega}^2}\right) - 1 \tag{5}\]

在权重函数的形成中，最常用的方程是三次样条函数、四次样条函数和指数函数，分别如公式（6.1）至公式（6.3）所示。这些方程将形成一个对称的钟形。

\[W_{i}=\begin{cases} 2 / 3 - 4r_{i}^{2}+ 4r_{i}^{3}& r_{i} \leq 0.5\\ 4 / 3 - 4r_{i}+ 4r_{i}^{2}-(4 / 3)r_{i}^{3}& 0.5 < r_{i} \leq 1.0 \end{cases} \tag{6.1}\] \[W_{i}=1 - 6r_{i}^{2}+ 8r_{i}^{3}- 3r_{i}^{4} \tag{6.2}\] \[W_{i}=\exp\left(-\left(\frac{r_{i}}{\beta}\right)^{2}\right) \tag{6.3}\]

其中，$\beta$ 是形状参数 [32]。注意，当 $r$ 大于 1 时，$W$ 始终为零。为了处理变量梯度突变的问题，可以应用非对称的 $W_i$。例如，Armentano 和 Durán [41] 提出了如公式（7）所示的一般非对称方程：

\[W_{i}= \begin{cases} \frac{\exp\left(\chi_{1}(x_{i}-x)^{2}\right)-\exp(\chi_{1})}{1 - \exp(\chi_{1})} & -R < x_{i}-x < 0 \\ \frac{\exp\left(\chi_{2}(x_{i}-x)^{2}\right)-\exp(\chi_{2})}{1 - \exp(\chi_{2})} & 0\leq x_{i}-x < R \end{cases} \tag{7}\]

其中，$\chi_1$ 和 $\chi_2$ 是用户定义的整数。作者建议参考 Breitkopf 等人 [31] 和 Most 和 Bucher [42] 的工作，以系统地解释非对称 $W_i$ 的形成。Zuppa [43] 详细讨论了使用条件数评估随机分布节点质量的数学方法。

Li 等人 [30] 首次提出了双重加权权重函数（$\hat{W}_i$），用于有效模拟和优化结构力学，其公式如公式（8）所示。最近，Zheng 等人 [44] 推导出了 $\hat{W}$ 的一个变体，以解决数据中的异常值问题，如公式（9）所示：

\[\hat{W}_{i}=W_{i}\exp(d_{i}) \tag{8}\] \[\hat{W}_{i}= \begin{cases} W_{i}\left(\frac{1}{1 + core(r_{i})}\right) &, r_{i} \in \mathcal{V} \\ W_{i}(1) &, r_{i} \in \mathbf{x}\setminus\mathcal{V} \end{cases} \tag{9}\]

其中，$\vartheta$ 是异常数据集，而函数 $\text{core}(r)$ 是为了最小化噪声对正常数据的干扰（见公式（10））。$\gamma_h = y_i^h - e_i$（$e_i$ 表示异常值，可能为零），而 $u_i$ 是 $|\cdot|$ 的单位方向向量。如果没有异常值，即 $e_i = 0 \rightarrow \text{core}(r) = 0$，则该方法退化为传统的 MLS 方法。

\[\mathrm{core}(r_{\mathrm{i}})=\sum_{j = 1}^{M_{\mathrm{i}}}\left|u_{\mathrm{i}_{j}}\cdot\frac{\partial\tilde{y}_{\mathrm{i}}^{h}}{\partial\mathrm{x}_{\mathrm{i}}}-\frac{\tilde{y}_{\mathrm{i}_{j}}^{h}-\tilde{y}_{\mathrm{i}}^{h}}{\lVert\overrightarrow{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}_{j}}}\rVert}\right| \tag{10}\]

在公式$(8)$中，$d_{i}$表示最有可能出现失效点的节点坐标之间的局部距离；同时，在公式$(9)$中，$\mathcal{V}$是离群值数据集，而函数$\mathrm{core}(r_{i})$ 的设计目的是将噪声对正常数据的干扰降至最低（见公式$(10)$）。$\gamma_{i}^{h} = y_{i}^{h}-e_{i}$（其中$e_{i}$表示离群值，其值可能为零），而$u_{i_{j}}$是$\lVert\overrightarrow{x_{i}x_{i_{j}}}\rVert$ 的单位方向向量。如果数据集中不存在离群值，也就是说$e_{i} = 0 \to \mathrm{core}(r_{i}) = 0$ ，该方法将变成传统的移动最小二乘法（MLS）。

4. 离散形式的操作

为了更好地去除数据中的离群点和噪声，可以在最小化之前对离散范数（公式（2））进行进一步修改，增加更多约束条件，如 Lei 等人 [45] 所提出的公式（11）：

\[J=\sum_{i = 1}^{n}W_{i}\frac{\lambda^{2}\alpha_{2}^{2}+1}{\alpha_{2}^{2}+1}(\alpha_{1}+\alpha_{2}X - \alpha_{3})^{2} \tag{11}\]

其中，$\lambda$ 是用户控制的系数，而 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 MLS 系数。此外，对于涉及不规则节点间距的研究，矩阵可能变得奇异，从而干扰 MLS 分析。Joldes 等人 [46] 通过公式（12）为 $J$ 增加更多约束条件，以最小化遇到矩阵奇异性的概率：

\[J=\sum_{i = 1}^{n}W_{i}\left[\left(\sum_{i = 1}^{m}(P_{j}(\Omega)\alpha_{j})\right)_{i}-u_{i}\right]^{2}+\left(\sum_{i = 1}^{m}(w_{j}\alpha_{j})\right)_{i} \tag{12}\]

其中，$w$ 是计算 $\alpha$ 的附加权重函数。他们的研究表明，将公式（12）应用于数据近似时，与经典 MLS 相比，可以得到更低的均方根误差。Joldes 等人 [46] 还为 $w$ 赋予了常数值，未来的研究可以在 $w$ 随 $\alpha$ 变化时进行更多探索。Matinfar 和 Pourabd [47] 也报告了类似的改进工作，他们将约束项中的 $\alpha$ 指数提升。尽管这些约束使 MLS 方法在解决具有不规则节点分布的非线性积分方程时具有更高的能力，但它们会增加 CPU 时间和计算负担 [47]。Wang 等人 [48] 报告了更复杂的约束条件。Levin [49] 通过将残差的指数降为 1，并用 Hardy 的多二次函数替换被移除的残差，解决了这一问题，该方法被称为移动最小-Hd 近似（公式（13））：

\[J=\sum_{i = 1}^{n}W_{i}H_{d}R \tag{13}\]

其中，$H_d$ 可以用数学公式描述为：

\[H_{d}=\sqrt{t^{2}+\lambda^{2}} \tag{14}\]

场的梯度也可以作为约束条件之一，如 Liu 和 Gu [32]、Komagodski 和 Levin [50] 以及 Lee 等人 [51] 所报告的那样。带有约束的 MLS 被称为 Hermite 型 MLS，其离散范数可以写成公式（15）：

\[J=\sum_{i = 1}^{n}W_{i}\left[\left(\sum_{i = 1}^{m}(P_{j}(\Omega)\alpha_{j})\right)_{i}-u_{i}\right]^{2}+\sum_{i = 1}^{n}W_{i}\left[\left(\sum_{i = 1}^{m}\left(\frac{\partial P_{j}(\Omega)}{\partial\Omega}\alpha_{j}\right)\right)_{i}-\frac{\partial u_{i}}{\partial\Omega}\right]^{2} \tag{15}\]

由于在 Hermite 型 MLS 的计算过程中会出现场的梯度，因此该方法更适合应用于无网格技术，尤其是在求解带有 Neumann 边界条件的偏微分方程时。

5. 迭代移动最小二乘法

MLS 改进的另一种选择是通过迭代过程强制连续减少残差。Fasshauer 和 Zhang [52] 提出了一种迭代 MLS 方法，其中 $\alpha$ 在残差计算过程中不断更新，如公式（16）所示：

\[\begin{align} (u^{a})^{0}&=(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{0};R^{0}=(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{0}-(u)^{0}=(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{n/2}\\ &(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{n}=(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{n}+(P^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha})^{n/2} \end{align} \tag{16}\]

如果仔细检查权重函数或离散范数，可以改进公式（16）的收敛所需的迭代次数。如果近似函数选择不当，该方法可能无法提高精度。Fleishman 等人 [29] 也为 MLS 设计了迭代算法，但在迭代过程中逐渐添加数据。在添加新数据时，残差应保持在可接受的范围内。残差的增加意味着存在离群点，因此应排除这些离群点以形成当前的 MLS 方程。与 Zheng 等人 [53] 的想法相反，这里的离群点数据将被重新计算以形成第二个方程（或更多），并重复该过程，直到所有数据都拟合完成。换句话说，节点添加迭代方案的核心是前向搜索算法 [54]。这种算法可以为 Li 等人 [55] 建议的分段 MLS 的形成铺平道路。结合这两种方案可以缓解为具有梯度不连续性的变量形成方程的问题。

6. 复合移动最小二乘法

复合 MLS 是指基于前面各节讨论的改进技术组合而成的 MLS 方案。将改进方法结合起来是一种有效的策略，可以为复杂节点建模优化计算精度。例如，Gois 等人 [9] 提出了一种权重函数方程，可以产生锐边和具有特殊约束的离散范数，以插值高度非线性的流体界面（即一个演化中的椭圆形）。他们的修改可以用数学公式（17.1）和公式（17.2）表示：

\[W_{i}=\left[1 - \left(\frac{\lVert\mathbf{x} - \mathbf{\bar{x}}\rVert^{2}}{\gamma\Delta h}\right)\right]^{4} \tag{17.1}\] \[J = \sum_{i = 1}^{n}W_{i}\left[\left(\sum_{i = 1}^{m}(P_{j}(\Omega)\alpha_{j})\right)_{i}-u_{i}\right]^{2}+K\sum_{i = 1}^{n}W_{i}\varsigma_{i}^{2} \tag{17.2}\]

其中，$K$ 和 $\gamma$ 由用户定义，而 $\varsigma$ 是数据曲线的法线 [9]。值得注意的是，该工作涉及瞬态几何变化，因此它涉及迭代 MLS。Trask 等人 [56] 也通过修改权重函数和对离散范数施加约束，采用了类似的计算技术来模拟具有锐角的正方形。与此同时，Dabboura 等人 [57] 通过将变量的导数提升到四阶并修改权重函数，改进了 Hermite 型 MLS，以求解广义 Kuramoto-Sivashinsky 方程。最近，Li 和 Li [58]、Wang 等人 [59] 和 Qu 等人 [60] 提出了增强型 MLS 方法，其中将多项式猜测函数替换为底层微分方程的基本解。尽管增强型 MLS 方法可以产生更精确的结果 [58]，但该方法受到基本解的可用性和复杂性的限制 [60]。

此外，插值 MLS 方法也是一种众所周知的 MLS 变体，其中将公式（1）中的刚度矩阵 $A$ 转换为正交阶，这将大大提高计算速度。其简要的数学描述可以参考 Tey 等人 [61] 的工作。然而，该方法更常被应用于基于有限元的数值方案中的插值函数，因为它可以有效避免在求解矩阵 $A$ 时出现奇异问题，并便于施加基本边界条件 [62]。报告了使用插值 MLS 的数值工作的包括 Shen 等人 [3]、Ren 和 Cheng [63]、Wang 等人 [64–66] 等。

另一种相关的变体是复变量 MLS 方法，通过将猜测函数拆分为实部和虚部，减少了试验函数系数的数量。该方法由 Cheng 和 Li [67] 提出，其数学稳健性被 Ren 和 Cheng [68] 和 Li [69] 大幅改进。通常，复变量 MLS 与插值 MLS 结合 用于实际应用，形成改进型复变量 MLS（ICVMLS）。ICVMLS 也更常被应用于与无网格技术结合，用于各种物理模拟，例如弹性动力学分析 [70]、对流扩散问题 [71] 和波动传播 [72]。

尽管复合 MLS 方法通过整合这些 MLS 变体的优势而更加稳健，但通常会增加其在实现过程中的复杂性和计算成本 [53]。因此，除非插值域的复杂性需要，否则复合 MLS 可能不是最高效的 MLS 变体。在选择适当的变体时，策略上需要在精度和简洁性之间进行权衡，以高效地插值复杂的工程研究，例如太阳能功率预测 [87]、海洋能预测 [88]、化学过程优化 [89,90] 和复杂工程结构的形成 [91,92]。

7. 移动最小二乘法的固有限制及其可能的改进

MLS 的主要限制在于其预定义的多项式近似函数，这阻碍了对不连续变量梯度的插值。对于锐利特征，标量场很可能与空间之间不存在多项式关系。为了使多项式方程有序，需要进行复杂的操作，如前一节中所检查的。此外，在计算多变量范数向量空间时，为了形成准确的 MLS 方程，近似函数的数量会急剧增加。

为了解决上述问题，对近似函数的指数进行操作可能是一个强大的替代方案。Tey 等人 [73] 提出了多变量幂最小二乘法（Multivariable Power Least Squares Method, MPLSM），该方法可以优化近似函数的指数。该方法可以与其他 MLS 改进方法结合使用。在不牺牲近似方程精度的情况下，可以减少近似函数的数量。此外，再生核函数（Reproducing Kernel Functions, RKF）的公式化可以作为 MLS 方法的补充数学工具。与其在近似函数上进行最小二乘操作（如公式（3）所示），不如通过积分形成连续的多项式方程。关于 RKF 的数学公式化的开创性解释可以参考 Akgül 等人 [74]、Akgül [75] 和 Baleanu 等人 [76] 的工作。Liu 等人 [77] 和 Salehi 和 Dehghan [78] 已经报告了将 MLS 和 RKF 结合以获得更好的预测精度。

总体而言，MLS 方法的未来改进不仅应考虑结果的准确性，还应考虑算法的简洁性和近似方程的紧凑性。其他可能与 MLS 方法结合的方法包括偏最小二乘法 [79,80]、主成分回归 [81,82]、主变量回归 [83,84] 和降秩回归 [85]。关于这些方法的完整综述可以参考 Kiers 和 Smilde [86] 的工作。同时，没有一种通用的或客观的“最佳”MLS 变体，因为选择适当的变体高度依赖于问题域的复杂性和必要性。在选择适当的变体时，需要在精度和简洁性之间进行权衡，以高效地插值复杂的工程研究，例如太阳能功率预测 [87]、海洋能预测 [88]、化学过程优化 [89,90] 和复杂工程结构的形成 [91,92]。

8. 结论

本文回顾了自 1968 年引入以来的经典 MLS，并综述了研究人员对其改进的特征。预定义的多项式近似函数似乎是 MLS 的固有限制。除了修改权重函数、离散范数和迭代算法外，对近似函数的指数进行操作以及与其他插值工具的整合可能是改进 MLS 的计算替代方案。

作者贡献

W.Y. Tey 发起了该项目，进行了广泛的文献综述，并起草了主要的论文文本。N.A. Che Sidik 和 Y. Asako 提供了技术建议，并参与了对数学表达式和讨论的审查。M.W. Muhieldeen 和 O. Afshar 协助丰富了内容并校对了论文。所有作者讨论了结果，审阅并批准了最终版本的论文。

利益冲突

作者声明在本文的研究、作者身份和出版方面不存在潜在的利益冲突。

资金支持

本研究由马来西亚-日本国际技术学院（Takasago Research Fund）提供资金支持，项目编号为 4B314；同时得到了 UCSI 大学的先锋科学家激励基金（PSIF）的支持，项目编号为 Proj-In-FETBE-038。